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Note: 88

以下のPRで行われているディスカッションについて検討しています。

  • https://github.com/skypenguins/coding-practice/pull/27
  • https://github.com/skypenguins/coding-practice/pull/27#discussion_r2533462366

Prompt: 144

ディスカッションの内容を確認し、実際に実行時間を測るためのベンチマークを作成してほしい。

元のparens + "("の方法、私が提案したpath + "("の方法、oda-sanが提案した[path, "("]の方法の3つです。

n=1~10を試して10*3の表で実行時間をまとめるようにしてほしい。

Prompt: 48

方法3について、extendするのではなく、単に繰り返しインデックスアクセスしていくだけで構築できませんか？

Prompt: 49

OK. さらに、それぞれ再帰ではなくstack + loopで書いた場合の比較も同様にやりたいので、コードを書いて。

Prompt: 76

oda-sanから、

generate_method2_recursive は、コピーせずに pop することでバックトラックする手がありますね。

というコメントをもらいましたこれも追加で定義してベンチマークを取り直しましょう。

Code: 2,665 (7:52:40a) 

import time
import pandas as pd

# === 方法1: parens + "(" (文字列結合) ===
# 再帰版
def generate_method1_recursive(n: int) -> list[str]:
    result = []
    
    def helper(parens, open_count, close_count):
        if len(parens) == 2 * n:
            result.append(parens)
            return
        if open_count < n:
            helper(parens + "(", open_count + 1, close_count)
        if close_count < open_count:
            helper(parens + ")", open_count, close_count + 1)
    
    helper("", 0, 0)
    return result

# stack+loop版
def generate_method1_stack(n: int) -> list[str]:
    result = []
    stack = [("", 0, 0)]
    
    while stack:
        parens, open_count, close_count = stack.pop()
        
        if len(parens) == 2 * n:
            result.append(parens)
            continue
        
        if close_count < open_count:
            stack.append((parens + ")", open_count, close_count + 1))
        if open_count < n:
            stack.append((parens + "(", open_count + 1, close_count))
    
    return result


# === 方法2: path + ["("] (リスト結合) ===
# 再帰版
def generate_method2_recursive(n: int) -> list[str]:
    result = []
    
    def helper(path, open_count, close_count):
        if open_count + close_count == 2 * n:
            result.append("".join(path))
            return
        if open_count < n:
            helper(path + ["("], open_count + 1, close_count)
        if close_count < open_count:
            helper(path + [")"], open_count, close_count + 1)
    
    helper([], 0, 0)
    return result

# stack+loop版
def generate_method2_stack(n: int) -> list[str]:
    result = []
    stack = [([], 0, 0)]
    
    while stack:
        path, open_count, close_count = stack.pop()
        
        if open_count + close_count == 2 * n:
            result.append("".join(path))
            continue
        
        if close_count < open_count:
            stack.append((path + [")"], open_count, close_count + 1))
        if open_count < n:
            stack.append((path + ["("], open_count + 1, close_count))
    
    return result

# バックトラック版（再帰のみ）
def generate_method2_backtrack(n: int) -> list[str]:
    result = []
    
    def helper(path, open_count, close_count):
        if open_count + close_count == 2 * n:
            result.append("".join(path))
            return
        if open_count < n:
            path.append("(")
            helper(path, open_count + 1, close_count)
            path.pop()
        if close_count < open_count:
            path.append(")")
            helper(path, open_count, close_count + 1)
            path.pop()
    
    helper([], 0, 0)
    return result


# === 方法3: [path, "("] (ペア構築) ===
# 再帰版
def generate_method3_recursive(n: int) -> list[str]:
    result = []
    
    def helper(path, open_count, close_count):
        if open_count + close_count == 2 * n:
            chars = []
            current = path
            while current:
                chars.append(current[1])
                current = current[0]
            result.append("".join(reversed(chars)))
            return
        if open_count < n:
            helper([path, "("], open_count + 1, close_count)
        if close_count < open_count:
            helper([path, ")"], open_count, close_count + 1)
    
    helper([], 0, 0)
    return result

# stack+loop版
def generate_method3_stack(n: int) -> list[str]:
    result = []
    stack = [([], 0, 0)]
    
    while stack:
        path, open_count, close_count = stack.pop()
        
        if open_count + close_count == 2 * n:
            chars = []
            current = path
            while current:
                chars.append(current[1])
                current = current[0]
            result.append("".join(reversed(chars)))
            continue
        
        if close_count < open_count:
            stack.append(([path, ")"], open_count, close_count + 1))
        if open_count < n:
            stack.append(([path, "("], open_count + 1, close_count))
    
    return result


# ベンチマーク実行
def benchmark():
    results = []
    
    for n in range(1, 11):
        print(f"Testing n={n}...")
        
        times = {}
        methods = [
            ("method1_recursive", generate_method1_recursive),
            ("method1_stack", generate_method1_stack),
            ("method2_recursive", generate_method2_recursive),
            ("method2_stack", generate_method2_stack),
            ("method2_backtrack", generate_method2_backtrack),
            ("method3_recursive", generate_method3_recursive),
            ("method3_stack", generate_method3_stack),
        ]
        
        for name, func in methods:
            start = time.perf_counter()
            for _ in range(10):  # 10回実行して平均を取る
                func(n)
            times[name] = (time.perf_counter() - start) / 10
        
        results.append({
            'n': n,
            'M1-再帰': f'{times["method1_recursive"]*1000:.3f}ms',
            'M1-stack': f'{times["method1_stack"]*1000:.3f}ms',
            'M2-再帰': f'{times["method2_recursive"]*1000:.3f}ms',
            'M2-stack': f'{times["method2_stack"]*1000:.3f}ms',
            'M2-BT': f'{times["method2_backtrack"]*1000:.3f}ms',
            'M3-再帰': f'{times["method3_recursive"]*1000:.3f}ms',
            'M3-stack': f'{times["method3_stack"]*1000:.3f}ms',
            **{f'{k}_raw': v for k, v in times.items()}
        })
    
    df = pd.DataFrame(results)
    
    # 表示用のDataFrame
    display_df = df[['n', 'M1-再帰', 'M1-stack', 'M2-再帰', 'M2-stack', 'M2-BT', 'M3-再帰', 'M3-stack']].copy()
    
    print("\n" + "="*110)
    print("実行時間の比較 (10回実行の平均)")
    print("M1=method1(str+str), M2=method2(list+list), M3=method3(pair), BT=backtrack")
    print("="*110)
    print(display_df.to_string(index=False))
    
    # 比較分析
    print("\n" + "="*110)
    print("各手法の相対的な速度 (M1-再帰を基準として)")
    print("="*110)
    for idx, row in df.iterrows():
        n = row['n']
        base = row['method1_recursive_raw']
        print(f"n={n:2d}: M1-再帰=1.00x  M1-stack={row['method1_stack_raw']/base:.2f}x  "
              f"M2-再帰={row['method2_recursive_raw']/base:.2f}x  M2-stack={row['method2_stack_raw']/base:.2f}x  "
              f"M2-BT={row['method2_backtrack_raw']/base:.2f}x  "
              f"M3-再帰={row['method3_recursive_raw']/base:.2f}x  M3-stack={row['method3_stack_raw']/base:.2f}x")
    
    return df

# ベンチマーク実行
df = benchmark()

Output: 2,035 

Testing n=1...
Testing n=2...
Testing n=3...
Testing n=4...
Testing n=5...
Testing n=6...
Testing n=7...
Testing n=8...
Testing n=9...
Testing n=10...

==============================================================================================================
実行時間の比較 (10回実行の平均)
M1=method1(str+str), M2=method2(list+list), M3=method3(pair), BT=backtrack
==============================================================================================================
 n    M1-再帰 M1-stack    M2-再帰 M2-stack    M2-BT    M3-再帰 M3-stack
 1  0.001ms  0.001ms  0.001ms  0.001ms  0.001ms  0.002ms  0.001ms
 2  0.002ms  0.002ms  0.002ms  0.002ms  0.002ms  0.003ms  0.003ms
 3  0.003ms  0.004ms  0.005ms  0.006ms  0.004ms  0.008ms  0.008ms
 4  0.011ms  0.012ms  0.024ms  0.016ms  0.009ms  0.021ms  0.023ms
 5  0.030ms  0.038ms  0.044ms  0.051ms  0.031ms  0.066ms  0.086ms
 6  0.103ms  0.121ms  0.139ms  0.177ms  0.090ms  0.228ms  0.276ms
 7  0.343ms  0.403ms  0.472ms  0.548ms  0.308ms  0.780ms  0.873ms
 8  1.225ms  1.322ms  1.588ms  1.835ms  0.987ms  2.684ms  2.853ms
 9  3.724ms  4.459ms  5.592ms  6.307ms  3.409ms  9.924ms 10.484ms
10 13.304ms 15.498ms 20.156ms 22.385ms 12.327ms 36.442ms 37.757ms

==============================================================================================================
各手法の相対的な速度 (M1-再帰を基準として)
==============================================================================================================
n= 1: M1-再帰=1.00x  M1-stack=0.81x  M2-再帰=0.99x  M2-stack=0.83x  M2-BT=0.87x  M3-再帰=1.76x  M3-stack=1.09x
n= 2: M1-再帰=1.00x  M1-stack=1.09x  M2-再帰=1.36x  M2-stack=1.39x  M2-BT=1.01x  M3-再帰=1.83x  M3-stack=2.19x
n= 3: M1-再帰=1.00x  M1-stack=1.26x  M2-再帰=1.43x  M2-stack=1.69x  M2-BT=1.18x  M3-再帰=2.36x  M3-stack=2.32x
n= 4: M1-再帰=1.00x  M1-stack=1.02x  M2-再帰=2.16x  M2-stack=1.46x  M2-BT=0.80x  M3-再帰=1.84x  M3-stack=2.03x
n= 5: M1-再帰=1.00x  M1-stack=1.24x  M2-再帰=1.46x  M2-stack=1.68x  M2-BT=1.02x  M3-再帰=2.19x  M3-stack=2.82x
n= 6: M1-再帰=1.00x  M1-stack=1.18x  M2-再帰=1.35x  M2-stack=1.72x  M2-BT=0.87x  M3-再帰=2.22x  M3-stack=2.69x
n= 7: M1-再帰=1.00x  M1-stack=1.17x  M2-再帰=1.38x  M2-stack=1.60x  M2-BT=0.90x  M3-再帰=2.27x  M3-stack=2.54x
n= 8: M1-再帰=1.00x  M1-stack=1.08x  M2-再帰=1.30x  M2-stack=1.50x  M2-BT=0.81x  M3-再帰=2.19x  M3-stack=2.33x
n= 9: M1-再帰=1.00x  M1-stack=1.20x  M2-再帰=1.50x  M2-stack=1.69x  M2-BT=0.92x  M3-再帰=2.66x  M3-stack=2.82x
n=10: M1-再帰=1.00x  M1-stack=1.16x  M2-再帰=1.52x  M2-stack=1.68x  M2-BT=0.93x  M3-再帰=2.74x  M3-stack=2.84x

Note: 523

oda-sanの最初のコメント：

あ、話として3つくらいあります。

  1. たしかに文字列は再構築されるんですが、path + ["("] も再構築されています。なので、やるならば、[path, "("] という風にペアにして渡すといいでしょう。ペアはオブジェクトへのポインタの組なので全体の再構築がされません。

  2. 計算量が不利になるか怪しいと思います。 証明までの水準では考えられていません。カタラン数を生成する木の中間ノードの各層の数なんですが、ballot numbers などといわれるものの和で表せます。厳密な計算は大変そうですが、最後の層から少し戻ると幾何級数的に減っていきます。最終層から a 層戻ったときの減り方の極限は (a/2+1)^2 / 2^a (奇数の場合は、(a^2-1) / 4 / 2^a) なので、最後の数層のコピー以外はほとんど効かないんですね。 どちらにしても最後に全文字列を生成しているので、悪くなったとしてもせいぜい数倍でしょう。

  3. 文字列のコピーは速いです。100倍くらい。

実際に計測してみましょう。

Prompt: 211

これの3点目について、補足で、

上で書いている「文字列のコピーは速い。100倍くらい。」というのは、Python インタープリターが通常100倍くらい遅いという制限がついているのが、文字列のコピーはネイティブなコードで動くということです。また、連続したメモリーブロックのコピーになり、ループアンローリングや SIMD など様々なテクニックが適用可能なので速いです。

と教えていただきました。これを私向けにさらに深掘りして解説してください。

Assistant: 2,860

🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠🧠

oda-sanのコメントを深掘りして解説しますね。いくつかの層に分けて説明します。

1. Pythonインタープリターが「通常100倍くらい遅い」という意味

Pythonのコードを実行するとき、インタープリターは以下のようなオーバーヘッドを持っています：

  • 動的型チェック: 変数の型を毎回確認する必要がある
  • バイトコードの解釈: Pythonコードは一度バイトコードに変換され、それを1命令ずつ解釈して実行
  • リファレンスカウンティング: オブジェクトの参照数を管理するための処理
  • 関数呼び出しのオーバーヘッド: Pythonの関数呼び出しは重い

例えば、こんな単純なループ：

Copied!
total = 0
for i in range(1000000):
    total += i

これをPythonで実行すると、各ステップで型チェック、インクリメント、加算、代入などすべてがPythonのオーバーヘッドを伴います。一方、C言語で書けば機械語にコンパイルされて直接CPUで実行されるので、数十〜100倍速くなります。

2. 「ネイティブなコード」で動くとは

Pythonの文字列操作（連結、コピーなど）は、C言語で実装されています。つまり：

Copied!
s = "hello" + "world"  # この + 演算は内部でC言語の関数が呼ばれる

この処理フローは：

  1. Python側で + 演算を検出
  2. 文字列型専用のC言語関数（例: PyUnicode_Concat）を呼び出し
  3. C言語のコードが直接実行される（Pythonのバイトコード解釈を経由しない）
  4. 結果をPythonオブジェクトとして返す

つまり、重い処理の本体はPythonインタープリターを迂回して、コンパイル済みの高速なコードで実行されるわけです。

3. 「連続したメモリーブロックのコピー」の利点

文字列は連続したメモリー領域に文字が並んでいます：

Copied!
文字列 "hello" のメモリー配置:
[h][e][l][l][o]  ← 連続している

一方、Pythonのリスト ["h", "e", "l", "l", "o"] は：

Copied!
[ptr1][ptr2][ptr3][ptr4][ptr5]  ← ポインタの配列
  ↓     ↓     ↓     ↓     ↓
 [h]   [e]   [l]   [l]   [o]   ← 実際のオブジェクトはバラバラの場所

連続メモリーのコピーは：

  • キャッシュ効率が高い: CPUのキャッシュが効きやすい
  • 予測可能: CPUのプリフェッチ（先読み）が機能する
  • 最適化しやすい: 以下の技術が使える

4. ループアンローリング (Loop Unrolling)

通常のコピーループ：

Copied!
for (int i = 0; i < len; i++) {
    dest[i] = src[i];  // 1バイトずつコピー
}

ループアンローリング後：

Copied!
for (int i = 0; i < len; i += 4) {
    dest[i] = src[i];
    dest[i+1] = src[i+1];
    dest[i+2] = src[i+2];
    dest[i+3] = src[i+3];  // 4バイトまとめてコピー
}

これにより：

  • ループ制御のオーバーヘッドが1/4に
  • CPUのパイプラインがより効率的に動作

実際には、memcpy などの関数はもっと賢く、8バイト、16バイト、さらには64バイト単位でコピーします。

5. SIMD (Single Instruction, Multiple Data)

現代のCPUには、1命令で複数のデータを同時処理する機能があります：

Copied!
通常の命令:
add  a, b  → 1つの加算

SIMD命令 (例: SSE, AVX):
add  [a1,a2,a3,a4], [b1,b2,b3,b4]  → 4つの加算を同時に実行

文字列コピーで言えば：

Copied!
// 通常: 1バイトずつコピー
dest[0] = src[0];
dest[1] = src[1];
// ...

// SIMD: 128ビット（16バイト）を1命令でコピー
__m128i chunk = _mm_loadu_si128(src);
_mm_storeu_si128(dest, chunk);

これにより、理論上は16倍速くなります。

6. なぜリストのコピーはこれらの恩恵を受けにくいのか

Copied!
path + ["("]  # リストの連結

これは：

  1. 新しいリスト用のメモリーを確保
  2. 元のリストの各要素（ポインタ）をコピー
  3. 各要素の参照カウントをインクリメント（これがPythonコード経由）
  4. 新しい要素 "(" を追加

特に3番目が曲者で、各要素について：

Copied!
# 内部的に各要素に対してこんな処理が
Py_INCREF(element)  # 参照カウント+1（関数呼び出しオーバーヘッドあり）

これはオブジェクトごとに行う必要があり、SIMDで一括処理できません。

7. ベンチマーク結果との関連

結果を見ると：

Copied!
n=10: M1-再帰=1.00x  M2-BT=0.93x  M2-再帰=1.52x  M3-再帰=2.74x
  • M1-再帰 (文字列結合): 文字列コピーの恩恵を受けて速い
  • M2-BT (バックトラック): リストをコピーせず、append/popのみなので同等に速い
  • M2-再帰 (リスト連結): リストのコピーが頻繁に発生して遅い
  • M3-再帰 (ペア構築): リストのネストが深くなり、最後の展開でオーバーヘッド

重要な洞察: oda-sanの「文字列のコピーは速い」という指摘は正しく、実際M1とM2-BTがほぼ同等の速度なのは、どちらもPythonレベルでの頻繁なコピーを避けているからです。

まとめ

文字列のコピーが速い理由：

  1. C言語実装: Pythonインタープリターのオーバーヘッドを回避
  2. 連続メモリー: キャッシュ効率が高い
  3. ループアンローリング: 複数バイトを一度に処理
  4. SIMD: 1命令で16バイト以上を同時コピー
  5. 参照カウント不要: 文字列は不変なので、コピー時に各文字の参照カウントを触る必要がない

一方、リストのコピーは：

  • 各要素の参照カウント操作が必要
  • ポインタの配列なのでメモリーが連続していない
  • これらの最適化が適用しにくい

だから、M2-BTのようにリストをコピーせずappend/popでバックトラックする方法が、文字列結合と同等の速度を実現できているわけです！